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从你朋友的行为及相关情况来看，其保管母亲财产，却又私自处分，确实是侵犯了其母亲的财产权利，但是公安机关不能予以管辖处理，鉴于你朋友的母亲已经去世，该行为虽然不合法，但是公安机关不能主动予以追究其责任，也无必要追究其责任。《刑法》第二百七十条规定，以非法占有为目的，将代为他人保管的财物、他人的遗忘物、埋藏物占为己有，拒不退还的是侵占罪。本条罪告诉才处理。
因为无力支付医药费而放弃治疗，你朋友便将其母亲带回老家，因此其母得不到治疗而死亡的，对其母亲死亡的结果持希望或者放任的态度，你朋友确实涉嫌间接故意杀人，公安机关对此有立案侦查的权力。但是需要指出的是，据你所说的情况来看，公安机关认定为故意杀人应当酌情考虑相关情况，如果其母亲确实无法治愈，你朋友也确实无力支付巨额的医疗费用，那么这种情况应当可以考虑免除处罚。
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