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因为琐事与镇长及其家人发生争斗，家人被打伤的，可以向该镇长本人提出赔偿请求，因该镇长并非是履行公务、行使职权将你打伤，其打伤你属于其个人行为，国家不予承担赔偿责任。建议你向当地派出所报警处理，并对后续医药费用等赔偿问题进行协商解决，解决不成，可以向人民法院提起诉讼。另外，作为国家公职人员，不遵守法律法规，与人私斗的，可以向上级行政机关或者镇人大反映相关情况。根据《国家赔偿法》相关规定，司法行政机关可以不予赔偿的情形包括：（一）与行使司法行政机关管理职权无关的机关工作人员的个人行为；（二）服刑人员、被劳动教养人员自伤自残的行为；（三）因公民、法人和其他组织自己的行为致使损害发生的；（四）法律规定的其他情形。
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